Objętość ostrosłupa

barszcz

Dany jest ostrosłup czworokątny prawidłowy, którego wszystkie krawędzie są równej długości. Suma długości wszystkich krawędzi wynosi 16. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Krzych

powiesz co to jest ostrosłup czworokątny prawidłowy, bo jeszcze tego nie miałem??

Krzych

głównie to intryguje mnie "czworokątny prawidłowy"

barszcz

Ostrosłup jest to bryła geometryczna, której wszystkie ściany prócz podstawy zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem.
Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a krawędzie boczne są równej długości.
Rozumiesz, czy mówić jaśniej?

Krzych

a jaki jest wzór na objętość tego czegoś?

barszcz

Mógłbyś się wysilić i wklepać wikipedia.pl, ale Ci powiem: 1/3*S*h

Krzych

dzięki

teraz musze kończyć już ale pomysle i potem powiem jak uda mi sie zrobic

Krzych

przepraszam że tyle pytań ale nie wiem co oznacza S w tym wzorze

a w Wikipedii same bzdury wychodzą o ostrosłupach

Krzych

...może pole podstawy?

i ponawiam pytanie dlaczego nie można edytować postów tutaj??

barszcz

Tak. S - to pole podstawy
Wydaje mi się, że można. Ja mogę. Posprawdzam.

Krzych

A więc jeśli jest 8 krawędzi a suma ich długości to 16 tzn. że jedna krawędź ma długość równą 2.

Czworokątny prawidłowy mówi nam tyle że w podstawie mamy kwadrat a więc pole S = 4 * 4 = 16.

Teraz szukamy wysokości:
wiemy że szerokość podstawy to 4 a więc droga do środka podstawy to 2, druga informacja to to że krawędzie mają po 4 długości stworzył nam się w środku trójkąt prostokątny.

Teraz korzystając z twierdzenia pana Pitagorasa obliczamy h:
a² + b² = c²
a² + 2² = 4²
a² + 4 = 16 |-4
a² = 12
a = √12 <--coś dziwnie to wyszło ale za każdym razem jak to robie to mi tak wychodzi.

Więc objętość tego ostrosłupa to:
v = 1/3 * S * h
v = 1/3 * 16 * √12
v = 18,475208 <-- też coś dziwnie wyszło
v ≈ 18

Krzych

A oto narysowany przeze mnie metodą "na ***** się" rysunek pomocniczy:

Krzych

Uuu jakaś dziwna cenzura jest? tam mialo być ***** ...myślę że to nie jest jakieś wulgarne słowo ale jakby ktoś miał jakieś pretensje to przepraszam

barszcz

Niestety, źle. Pomysł dobry (poprawny), ale mam zastrzeżenia:
1. "Droga do środka" - nie znam takiego określenia, tutaj chodzi o połowę przekątnej kwadratu: (a√2)/2, czyli (2√2)/2=√2.
2. Wysokość nie wyjdzie, tylko [sobie oblicz]
3. Objętość nie wyjdzie "18,475208<-też coś dziwnie wyszło", tylko [sobie oblicz]

Daje Ci jeszcze jedną szansę!

Krzych

faktycznie ja juz chyba pojde spac bo mi sie w głowie coś przewraca

Krzych

dobra już chyba wiem o co chodzi

tylko późno

napisze jutro albo wtedy kiedy bede mogł

Krzych

Tu jeszcze taki rysunek poglądowy:

Ostrosłup czworokątny prawidłowy ma 8 krawędzi, przy czym w naszym wypadku suma ich długości jest równa 16. Można z tego obliczyć długość jednej krawędzi, która w takim razie wynosi 2, bo:
16 / 8 = 2

"Czworokątny prawidłowy" mówi nam, że w podstawie mamy kwadrat, a więc pole tego kwadratu a zarazem pole podstawy naszego ostrosłupa to:
S = a * a
S = 2 * 2
S = 4

Teraz szukamy wysokości. Wiemy że w każdym kwadracie środek symetrii jest w punkcie przecięcia się przekątnych. Trzeba więc jeszcze obliczyć długości przekątnych. Korzystamy tu z drugiego wzoru na pole rombu (bo przecież kwadrat to też rąb z tym że specyficzny):
a * a = (e * f) / 2
4 = (e * f) / 2 |przyczym w kwadracie e = f
4 = e2 / 2 |zmieniłem f na e, bo tak czy siak są równe
4 = e2 / 2 | * 2
8 = e2
e = √8 |można było też do tego dojść ze wzoru √2a2 na przekątną kwadratu
½e = √8 / 2 |połowa przekątynej
√8 / 2 = √2 |nie wiem czy to po matematycznemu ale tak się składa że √8 / 2 równe jest √2
Korzystamy z twierdzenia Pana Pitagorasa i obliczamy h:
a² + b² = c²
a² + (√2)² = 2²
a² + 2 = 4 | - 2
a² = 2
a = √2
a = h

A teraz sprawdzenie poprawności uzyskanej wysokości:
a² + b² = c²
√2² + √2² = c²
2 + 2 = c²
4 = c²
c = √4
c = 2

Teraz zaczyna się miejsce w którym mam dwie możliwości i każda daje inny wynik.
Obliczamy objętość tegoż ostrosłupa.
V = 1/3 * S * h
V = 1/3 * 4 * √2
V = 1,885618 <-- i tu wychodzi mi bzdura choć nie wiem gdzie jest błąd
V ≈ 2

Później wpadłem na jeszcze jeden pomysł.
Mianowicie... można by obliczyć pole ¼ podstawy naszego ostrosłupa (takiego małego trójkąta - jednego z czterech- które tworzą się nam po narysowaniu przekątnych. Następnie obliczyć objętość ¼ całego ostrosłupa czyli tego mniejszego z podstawą w tym mniejszym trójkącie i to wszystko pomnożyć przez 4 bo tyle tych małych ostrosłupów tam jest.

Vmałego ostrosłupa w podstawie z tym mniejszym trójkątem = (√2 * √2) / 2 * √2 * 1/3
V = (√2)² / 2 * 1/3
V = 2² / 2 * 1/3
V = 2 * 1/3
V = 2/3 <--to jest objętość tego małego ostrosłupa w tym naszym dużym
Vnaszego ostrosłupa = 2/3 * 4
V = 8/3 = 2 i 2/3 = 2,(6)

Nie wiem dlaczego wychodzą mi dwa wyniki. Pewnie któryś z nich jest zły, choć obydwa wyglądają jakoś dziwnie=\ Jeśli któraś z tych odpowiedzi jest źle to ja chyba tego zadania nie zrobię='[

barszcz

Pierwsze rozwiązanie jest prawidłowe (nie wiem czemu uważasz, że jest dziwne): V=1/3*4*√2. Gratuluję Ci również zapału i chęci rozwiązywania zadań (z rysunkami)!!!

Co do drugiego pomysłu, to był dobry, ale źle wymnożyłeś pierwiastki:
Vm = 1/3 * (√2*√2)/2 * √2
Vm = 1/3 * √2
V= 4 * Vm
V= 1/3*4*√2

ZADANIE ROZWIĄZANE