Skomplikowane zadanie

slawek

Udowodnij:
a² + b² + c² >= ab + ac + bc

Krzych

to było proste:

a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc
a² + b² + c² ≥ a (b + c + bc/a) | /a
a + b² + c² ≥ b (1 + c/b + c/a) |/b
a + b + c² ≥ 1 + c/b + c/a |/c
a + b + c ≥ 1/c + 1/b + 1/a

slawek

Jeśli : - to znak dzielenia, to coś Ci nie wyszło!
/ - znak dzielenia

Podstaw sobie, dla c=1/10

Krzych

...faktycznie coś nie wyszło=\

slawek

Podpowiedzieć?

Krzych

...może do jutra jeszcze spróbuje coś wymyślić...na razie dziękuję...choć może później podpowiedź mi się przyda

slawek

Spróbuj użyć wzorów skróconego mnożenia.

barszcz

Widzę, że nikt tego nie rozwiąże. Czas zdradzić rozwiązanie:

Najlepszym sposobem na rozwiązanie tego zadania jest stworzenie 3 wzorów skróconego mnożenia i przerzucenia ich na jedną stronę, aby z drugiej pozostało 0. Wtedy zadanie będzie rozwiązane.
Ja zamiast sprowadzać nierówność (w temacie zadania) do "chcianej" postaci, zacznę od końca, czyli końcowy rezultat sprowadzę do nierówności przedstawionej w temacie zadania - to okaże się dużo prostsze i bardziej profesjonalne.

"Chciany" rezultat:
(a-b)² + (a-c)² + (b-c)² >= 0
Jak widzimy ta postać jest prawidłowa, gdyż podnosząc liczbę do potęgi nie możemy uzyskać liczby ujemnej.

Teraz spróbujemy uzyskać postać przedstawioną w temacie zadania:
(a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 >= 0
a² - 2ab + b² + a² - 2ac + c² + b² - 2bc + c² >=0
2*a² + 2*b² + 2*c² >= 2ab + 2ac + 2bc
a² + b² + c² >= ab + ac + bc

ZADANIE ROZWIĄZANE